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By Max Deuring (auth.)

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Example text

Ffi wird bei der irreduziblen Darstellung auf Null abgebildet. Das folgt aus dem, Satz 1 ergänzenden Satz 4. 2{ sei ein halbprimärer Ring, sein Radikal ffi sei nilpotent. m sei ein einfacher 2{-Linksmodul; es mag auch ein gemeinsamer Operatorenbereich Q von 2{ und m gegeben sein. Dann ist entweder m= 0 oder mist operatorisomorph zu einem einfachen Linksideal von 2{/ffi. § 3. Erweiterung des Grundkörpers. 37J da mm Beweis. Es ist = o. Denn einfach ist; es ·folgt m 31 mm =1= 0 hat mm = mzur Folge, m = mm = mm = ...

I8jP sei eine in Il( enthaltene einfache Algebra. Die Gesamtheit ~ der mit 'i8 elementweise vertauschbaren Elemente von Il( ist wieder ein einfacher Ring, also Matrizesring 49J 43 § 4. Einfache Algebren. in einem Schiefkörper r, Q; = r.. r ist reziprok isomorph zu dem Schiefkörper r*, in dem 58A* Matrizesring ist: 58A* = rr*' Die Einbettung von 58 in m: = AI ist s-fach. Der Durchschnitt 58 n Q; ist das Zentrum von 58. ) Beweis. Die letzte Behauptung über 58 n Q; folgt aus der Definition von Q; unmittelbar.

Ist Q endlich algebraisch, so ist An nach Satz 3 dann und nur dann halbeinfach, wenn Zn halbeinfach ist. Nur am Zentrum Z liegt es also, ob An halbeinfach bleibt oder nicht. Bei separablem Zentrum Z ist An nach § 3, Satz 1, immer halbeinfach, bei inseparablem Zentrum aber nicht. Auch die Anzahl der verschiedenen einfachen Summanden von An ist durch Z gegeben, sie ist gleich der Anzahl der Summanden von Zn. Eine beliebige halbeinfache Algebra 2(/P bleibt bei jeder Erweiterung von P halbeinfach, wenn die Zentren ihrer einfachen Summanden separable Körper über P sind (§ 3, Satz 1).

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