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By Jakob Stix

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Beweis. Angenommen die Charakteristik des Integritätsrings R wäre n = ab mit a, b ≥ 2. Dann wäre in R a·b=n=0 und somit einer der Faktoren schon 0, sagen wir a. Dann ist a ∈ ker(Z → R) = nZ im Widerspruch zu 0 < a < n. 3. Wir geben für jede mögliche Charakteristik Beispiele von Körpern. (1) Q, R, C haben Charakteristik 0. (2) Sei p eine Primzahl. Der Körper Fp := Z/pZ hat Charakteristik p. (3) Sei L/K eine Körpererweiterung. Der Homomorphismus Z → L ist die Komposition von Z → K gefolgt von der Einbettung K → L.

5. Sei v eine diskrete Bewertung auf dem Körper K. Für eine relle Zahl ρ > 1 wird durch |x|v := ρ−v(x) auf K eine Norm definiert, wenn man auch noch |0|v = 0 setzt. Die nicht-archimedische Dreiecksungleichung wird zur Dreiecksungleichung |x + y|v ≤ max{|x|v , |y|v } ≤ |x|v + |y|v für | |v . Wie üblich definiert dv (x, y) = |x − y|v dann eine Metrik auf K, die v-adische Metrik. Im Beispiel der p-adischen diskreten Bewertung vp auf Q bekommt man eine Norm, in der eine Zahl dann klein ist, wenn sie oft durch p teilbar ist.

Wir müssen uns einen Überblick über die Nullstellenmengen von Polynomen verschaffen. Zunächst zeigen wir, daß Nullstellen zu Linearfaktoren führen. 10. Sei R ein Ring, f ∈ R[T ] ein Polynom und α ∈ R ein Element. Dann sind äquivalent. (1) f (α) = 0 in R (2) Es gibt ein g ∈ R[T ] mit f = (T − α)g. Beweis. (2) =⇒ (1) ist trivial. Die umgekehrte Richtung folgt aus der Polynomdivision von f durch T − α in R[T ]. Man beachte, daß Polynomdivision durch T − α wie gewöhnlich in Polynomringen mit Körperkoeffizienten durchführbar ist, weil T − α ein normiertes Polynom in R[T ] ist, somit stets in R nur durch 1 zu teilen ist.

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